Cours de Mathématiques – Première

Un trinôme du second degré s'écrit ax² + bx + c avec a ≠ 0. On calcule son discriminant Δ = b² − 4ac : si Δ > 0 il y a deux racines distinctes, si Δ = 0 une racine double, si Δ < 0 aucune racine réelle. Le signe du trinôme est celui de a à l'extérieur des racines et de −a entre les racines. Ce chapitre apprend à résoudre les équations et inéquations du second degré, à utiliser la forme…

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Programme : les chapitres

Chapitre à lire gratuitement : Second degré : équations, inéquations, signe

1. Le trinôme du second degré

Définition : on appelle trinôme du second degré toute expression f(x) = ax² + bx + c où a, b, c sont des réels et a ≠ 0. Sa courbe est une parabole, tournée vers le haut si a > 0 et vers le bas si a < 0.

Exemples : 3x² − 2x + 1 est un trinôme ; 2x + 5 n'en est pas un.

2. Forme canonique

Tout trinôme s'écrit f(x) = a[(x + b/(2a))² − Δ/(4a²)] avec Δ = b² − 4ac.

Exemple : 2x² − 12x + 10 = 2(x² − 6x + 5) = 2[(x − 3)² − 4] = 2(x − 3)² − 8.

La parabole a pour sommet S(−b/(2a) ; f(−b/(2a))). Ici S(3 ; −8) : c'est un minimum puisque a > 0.

3. Discriminant et racines

Propriété : on pose Δ = b² − 4ac.

• Si Δ > 0 : deux racines x₁ = (−b − √Δ)/(2a) et x₂ = (−b + √Δ)/(2a).
• Si Δ = 0 : une racine double x₀ = −b/(2a).
• Si Δ < 0 : pas de racine réelle.

Exemples :

2x² + x − 3 = 0 : Δ = 1 + 24 = 25, x₁ = (−1 − 5)/4 = −3/2 et x₂ = (−1 + 5)/4 = 1.

x² + 4x + 4 = 0 : Δ = 0, racine double x₀ = −2.

x² + x + 1 = 0 : Δ = −3 < 0, aucune solution réelle.

4. Somme et produit des racines

Propriété : si Δ ≥ 0, les racines vérifient

x₁ + x₂ = −b/a

x₁ × x₂ = c/a

Exemple : pour x² − 7x + 12 = 0, S = 7 et P = 12, donc les racines sont 3 et 4.

Pour trouver deux nombres connaissant leur somme S et leur produit P, on résout x² − Sx + P = 0.

5. Factorisation et signe du trinôme

Si Δ > 0, ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Si Δ = 0, ax² + bx + c = a(x − x₀)².

Propriété : le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe de −a entre les racines. Si Δ < 0, il est du signe de a pour tout x. Si Δ = 0, il est du signe de a sauf en x₀ où il s'annule.

Exemple : x² − x − 6 a pour racines −2 et 3. Il est positif sur ]−∞ ; −2[ et sur ]3 ; +∞[, négatif sur ]−2 ; 3[.

6. Inéquations du second degré

Méthode : on met l'inéquation sous la forme ax² + bx + c ≥ 0 (ou ≤, <, >), on calcule les racines, puis on lit le signe dans un tableau.

Exemple : x² − 4x − 5 < 0. Δ = 36, racines −1 et 5. Le trinôme est négatif entre les racines, donc S = ]−1 ; 5[.

7. Équations qui s'y ramènent

Équation bicarrée : x⁴ − 5x² + 4 = 0. On pose X = x², d'où X² − 5X + 4 = 0, X = 1 ou X = 4, donc x = ±1 ou x = ±2.

Attention : après un changement de variable, il faut revenir à x et rejeter les valeurs X < 0.

Exemple concret : un maraîcher de Thiès dispose de 60 m de grillage pour un enclos rectangulaire de 200 m². Les longueurs vérifient x² − 30x + 200 = 0, soit 10 m et 20 m.

8. Méthode pour le BAC

• Toujours écrire a, b, c et calculer Δ avant de conclure.
• Pour une inéquation, dresser un tableau de signes et donner la solution sous forme d'intervalle.
• Vérifier une racine en la remplaçant dans l'équation de départ.
• Dans un problème, traduire par une équation, résoudre, puis écarter les solutions négatives ou impossibles.