Cours de Mathématiques – 3ème

La racine carrée d'un nombre positif a est le nombre positif dont le carré vaut a. On la note √a. On retient : √(ab) = √a × √b, √(a/b) = √a / √b, mais √(a + b) n'est pas égal à √a + √b. On simplifie une racine en extrayant les carrés parfaits (√50 = 5√2), on rend un dénominateur rationnel (1/√2 = √2/2) et on compare des nombres en comparant leurs carrés. Les nombres réels regroupent les…

15 chapitres + 6 sujets types · exercices corrigés et quiz dans l'application

Programme : les chapitres

Sujets types

• Sujet type BFEM n°1
• Sujet type BFEM n°2
• Sujet type BFEM n°3
• Sujet type BFEM n°4
• Sujet type BFEM n°5
• Sujet type BFEM n°6

Chapitre à lire gratuitement : Racines carrées et nombres réels

1. Racine carrée d'un nombre positif

Le carré de 7 est 49. Inversement, on dit que 7 est la racine carrée de 49 et on écrit √49 = 7.

Définition : soit a un nombre positif ou nul. La racine carrée de a, notée √a, est l'unique nombre positif dont le carré est égal à a.

Conséquences à connaître :

• √a ≥ 0 pour tout a ≥ 0.
• (√a)² = a. Exemple : (√13)² = 13.
• √(a²) = a lorsque a ≥ 0. Exemple : √(5²) = 5.
• Un nombre négatif n'a pas de racine carrée. Exemple : √(−4) n'existe pas, car un carré n'est jamais négatif.
• √0 = 0 et √1 = 1.

Carrés parfaits à connaître par cœur : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 400, 625.

Exemple concret : un champ carré de 625 m² à Thiès a pour côté √625 = 25 m.

2. Opérations sur les racines carrées

Pour a ≥ 0 et b ≥ 0 :

√(a × b) = √a × √b

Pour a ≥ 0 et b > 0 :

√(a / b) = √a / √b

Exemples :

√(4 × 9) = √4 × √9 = 2 × 3 = 6

√(25/16) = √25 / √16 = 5/4

Attention, erreur très fréquente : √(a + b) n'est PAS égal à √a + √b.

Contre-exemple : √(9 + 16) = √25 = 5, alors que √9 + √16 = 3 + 4 = 7.

De même √(a − b) n'est pas égal à √a − √b.

3. Simplifier une racine carrée

On cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre sous la racine.

√50 = √(25 × 2) = √25 × √2 = 5√2

√72 = √(36 × 2) = 6√2

√12 = √(4 × 3) = 2√3

√45 = √(9 × 5) = 3√5

4. Additionner et soustraire des racines

On ne peut additionner que des racines identiques, comme on additionne des termes semblables :

3√2 + 5√2 = 8√2

Quand les racines sont différentes, on simplifie d'abord :

√8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2

√12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3

5. Rendre rationnel un dénominateur

On ne laisse pas de racine au dénominateur. On multiplie le numérateur et le dénominateur par la même racine :

1/√2 = (1 × √2)/(√2 × √2) = √2/2

6/√3 = 6√3/3 = 2√3

Quand le dénominateur est de la forme (a + √b) ou (a − √b), on utilise l'expression conjuguée et l'identité (x − y)(x + y) = x² − y² :

1/(√3 − 1) = (√3 + 1)/((√3 − 1)(√3 + 1)) = (√3 + 1)/(3 − 1) = (√3 + 1)/2

6. Identités remarquables avec des racines

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a − b)² = a² − 2ab + b²

(a − b)(a + b) = a² − b²

Exemples :

(1 + √2)² = 1 + 2√2 + 2 = 3 + 2√2

(√5 − 2)(√5 + 2) = 5 − 4 = 1

7. Les nombres réels

Les ensembles de nombres s'emboîtent : ℕ (entiers naturels) ⊂ ℤ (entiers relatifs) ⊂ 𝔻 (décimaux) ⊂ ℚ (rationnels, écrits sous forme de fraction) ⊂ ℝ (réels).

Un nombre réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel. Exemples : √2, √3, π. Leur écriture décimale est infinie et sans période. On ne peut donc pas les écrire exactement sous forme de fraction.

Remarque : √16 = 4 est un nombre entier, donc rationnel. √a est irrationnel lorsque a n'est pas le carré d'un nombre rationnel.

8. Comparer et encadrer

Pour des nombres positifs, comparer deux nombres revient à comparer leurs carrés. Si a < b alors √a < √b.

Exemple : 3√2 = √18 et 2√5 = √20. Comme 18 < 20, on a 3√2 < 2√5.

Encadrement : 2,6² = 6,76 et 2,7² = 7,29. Comme 6,76 < 7 < 7,29, on obtient 2,6 < √7 < 2,7.

9. Méthode pour le BFEM

• Avant de calculer, simplifier chaque racine sous la forme a√b.
• Regrouper les racines identiques.
• Ne jamais écrire √(a + b) = √a + √b.
• Rendre le dénominateur rationnel si on vous le demande.
• Vérifier le résultat avec la calculatrice : √2 ≈ 1,414 ; √3 ≈ 1,732 ; √5 ≈ 2,236.