Cours de Mathématiques – 4ème

Un nombre relatif est un nombre précédé d'un signe + ou −. Pour additionner, on compare les signes ; pour soustraire, on ajoute l'opposé ; pour multiplier ou diviser, on applique la règle des signes : deux signes identiques donnent +, deux signes différents donnent −. Ce chapitre apprend aussi à calculer une distance sur une droite graduée et à respecter les priorités opératoires. Ces outils…

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Programme : les chapitres

Chapitre à lire gratuitement : Nombres relatifs : les quatre opérations

1. Les nombres relatifs et la droite graduée

Un nombre relatif est composé d'un signe (+ ou −) et d'une distance à zéro. Exemples : +5, −3, +2,5, −0,75. Les nombres positifs sont à droite de zéro sur la droite graduée, les nombres négatifs sont à gauche.

Définition : deux nombres opposés sont à la même distance de zéro, de part et d'autre de zéro. L'opposé de +4 est −4 ; l'opposé de −7 est +7 ; la somme de deux opposés vaut 0.

Comparer : tout nombre négatif est plus petit que tout nombre positif. Entre deux négatifs, le plus petit est celui qui est le plus loin de zéro : −8 < −3.

Exemple : un congélateur de la pêcherie de Joal est réglé à −18 °C et une chambre froide à −25 °C. Comme −25 < −18, la chambre froide est la plus froide.

2. Addition de deux nombres relatifs

• Même signe : on additionne les distances à zéro et on garde le signe commun.

Exemples : (−5) + (−8) = −13 ; (+4) + (+6) = +10.

• Signes différents : on soustrait la plus petite distance de la plus grande et on garde le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.

Exemples : (−7) + (+12) = +5 ; (+9) + (−15) = −6.

3. Soustraction

Propriété : soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.

a − b = a + (−b)

Exemples :

(+4) − (+9) = (+4) + (−9) = −5

(−6) − (−10) = (−6) + (+10) = +4

5 − (−3) = 5 + 3 = 8

4. Multiplication et règle des signes

On multiplie les distances à zéro, puis on détermine le signe :

• deux facteurs de même signe : le produit est positif ;
• deux facteurs de signes différents : le produit est négatif.

Exemples : (−4) × (+6) = −24 ; (−5) × (−7) = +35.

Pour un produit de plusieurs facteurs non nuls, on compte les facteurs négatifs : si leur nombre est pair, le produit est positif ; s'il est impair, le produit est négatif.

Exemple : (−2) × (−3) × (−4) = −24, car il y a trois facteurs négatifs.

5. Division

La règle des signes est la même que pour la multiplication.

Exemples : (−36) ÷ (−9) = +4 ; 48 ÷ (−6) = −8 ; (−15) ÷ 2,5 = −6.

Attention : on ne peut jamais diviser par 0.

6. Distance entre deux nombres sur une droite graduée

Propriété : la distance entre les abscisses a et b est la plus grande valeur moins la plus petite.

Exemple : la distance entre −7 et 5 est 5 − (−7) = 12. La distance entre −9 et −3,5 est −3,5 − (−9) = 5,5.

7. Priorités opératoires

On calcule d'abord les parenthèses, puis les multiplications et divisions (de gauche à droite), puis les additions et soustractions.

Exemple : A = 5 − 3 × (−4) = 5 − (−12) = 5 + 12 = 17.

8. Méthode pour le BFEM

• Écrire les parenthèses autour des nombres négatifs pour ne pas se tromper de signe.
• Transformer toute soustraction en addition de l'opposé.
• Pour un produit, compter les facteurs négatifs avant de calculer.
• Respecter les priorités opératoires et détailler chaque ligne de calcul.
• Vérifier le résultat avec un ordre de grandeur et le signe attendu.