Cours de Algèbre linéaire – Licence 1

Ce chapitre pose les bases de l'algèbre linéaire : systèmes d'équations linéaires, méthode du pivot de Gauss, opérations sur les matrices, matrice inverse et rang. Un système linéaire s'écrit AX = B ; il a zéro, une ou une infinité de solutions, et le pivot de Gauss permet de le décider de façon systématique. Les matrices servent aussi à modéliser des phénomènes en économie, en démographie ou en…

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Programme : les chapitres

Chapitre à lire gratuitement : Systèmes linéaires et calcul matriciel

1. Systèmes linéaires

Définition : un système linéaire de n équations à p inconnues s'écrit a₁₁x₁ + … + a₁ₚxₚ = b₁, …, aₙ₁x₁ + … + aₙₚxₚ = bₙ. Il est homogène si tous les bⱼ sont nuls. Une solution est un p-uplet qui vérifie toutes les équations.

Trois cas seulement : le système est incompatible (aucune solution), compatible à solution unique, ou compatible avec une infinité de solutions. Il n'y a jamais exactement deux solutions.

Interprétation géométrique : dans le plan, deux droites sont sécantes, parallèles ou confondues ; dans l'espace, trois plans peuvent se couper en un point, selon une droite, ou ne pas avoir de point commun.

2. Matrices : définitions et opérations

Définition : une matrice de taille n × p est un tableau de nombres à n lignes et p colonnes. On note Mₙ,ₚ(ℝ) l'ensemble de ces matrices.

Somme et produit par un scalaire : coefficient par coefficient.

Produit : si A est n × p et B est p × q, AB est n × q et (AB)ᵢⱼ = Σ (k = 1 à p) aᵢₖ bₖⱼ.

Propriétés : le produit est associatif et distributif, mais en général AB ≠ BA et AB = 0 n'entraîne pas A = 0 ou B = 0.

Exemple : avec A = (1 2 ; 3 4) et B = (0 1 ; 1 0), AB = (2 1 ; 4 3) et BA = (3 4 ; 1 2).

Matrice identité Iₙ : 1 sur la diagonale, 0 ailleurs, avec A Iₙ = Iₙ A = A. Transposée : (Aᵀ)ᵢⱼ = aⱼᵢ, avec (AB)ᵀ = BᵀAᵀ. Trace d'une matrice carrée : somme des coefficients diagonaux.

3. Écriture matricielle et méthode du pivot de Gauss

Le système s'écrit AX = B, où A est la matrice des coefficients, X le vecteur des inconnues et B le second membre.

Opérations élémentaires sur les lignes : échanger deux lignes (Lᵢ ↔ Lⱼ), multiplier une ligne par un scalaire non nul (Lᵢ ← λLᵢ), ajouter à une ligne un multiple d'une autre (Lᵢ ← Lᵢ + μLⱼ). Elles conservent l'ensemble des solutions.

Méthode : on choisit un pivot non nul dans la première colonne, on élimine cette inconnue dans les autres lignes, puis on recommence sur le sous-système. On obtient un système échelonné, résolu par remontée.

Exemple : x + y + z = 6, 2x − y + z = 3, x + 2y − z = 2. Avec L₂ ← L₂ − 2L₁ et L₃ ← L₃ − L₁, on obtient −3y − z = −9 et y − 2z = −4. On en déduit z = 3, y = 2, x = 1.

4. Rang d'une matrice et discussion

Le rang d'une matrice est le nombre de pivots non nuls après échelonnement. Il ne dépend pas de la réduction choisie.

Théorème de Rouché-Fontené : un système AX = B à p inconnues est compatible si et seulement si rg(A) = rg(A|B). Dans ce cas, l'ensemble des solutions dépend de p − rg(A) paramètres libres.

Exemple : x + 2y − z = 1, 2x + 4y − 2z = 2, x + y + z = 3. La deuxième équation est le double de la première, le rang vaut 2 et il y a un paramètre libre : (x, y, z) = (5 − 3t, 2t − 2, t) pour t réel.

5. Matrices inversibles

Définition : une matrice carrée A est inversible s'il existe B telle que AB = BA = I. Cette matrice B est unique, notée A⁻¹.

Propriétés : (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ et (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ. Si A est inversible, AX = B a pour unique solution X = A⁻¹B.

Cas 2 × 2 : pour A = (a b ; c d), A est inversible si et seulement si ad − bc ≠ 0, et A⁻¹ = (1/(ad − bc)) (d −b ; −c a).

Méthode générale : on écrit (A | I) et on applique le pivot de Gauss-Jordan jusqu'à obtenir (I | A⁻¹). Si l'on ne peut pas obtenir I, la matrice n'est pas inversible.

6. Matrices particulières et puissances

Matrices diagonales, triangulaires, symétriques (Aᵀ = A). Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est triangulaire supérieur.

Puissances : pour A = (1 1 ; 0 1), on montre par récurrence Aⁿ = (1 n ; 0 1). Pour une matrice diagonale, Dⁿ s'obtient en élevant chaque coefficient diagonal à la puissance n.

Application : si la répartition des clients entre deux opérateurs de téléphonie à Dakar évolue chaque mois selon Xₙ₊₁ = M Xₙ, alors Xₙ = Mⁿ X₀.

7. Retenir l'essentiel

• Avant de résoudre, écrire le système sous forme matricielle et rechercher des lignes proportionnelles.
• Ne jamais faire commuter deux matrices sans vérification : AB ≠ BA en général.
• Pour inverser, utiliser la formule en dimension 2 et Gauss-Jordan au-delà.
• Toujours vérifier la solution trouvée en la remplaçant dans les équations de départ.