Cours de Mathématiques appliquées à l'économie – Licence 1

Les fonctions d'une variable servent à modéliser les relations économiques : demande, coût, recette, production. La dérivée mesure la variation instantanée d'une fonction : elle donne le coût marginal, la recette marginale, la tangente à une courbe et le sens de variation. Ce chapitre rappelle les dérivées usuelles et les règles de calcul (somme, produit, quotient, composée), l'étude des…

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Programme : les chapitres

Chapitre à lire gratuitement : Fonctions et dérivées

1. Fonctions numériques : vocabulaire

Une fonction f associe à tout réel x de son ensemble de définition D un unique réel f(x). En économie, la variable x peut être un prix, une quantité, un revenu, et f(x) une demande, un coût ou une utilité.

Exemples de fonctions usuelles : fonction affine f(x) = ax + b (demande linéaire), puissance f(x) = x^n, racine carrée, inverse f(x) = 1/x (hyperbole), exponentielle e^x (croissance continue), logarithme népérien ln x (défini pour x > 0).

2. Dérivée : définition et interprétation

Définition : la dérivée de f en a est la limite, si elle existe, du taux d'accroissement :

f'(a) = lim (h → 0) de [f(a + h) − f(a)] / h

Interprétation géométrique : f'(a) est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse a. Équation de la tangente : y = f(a) + f'(a)(x − a).

Interprétation économique : si C(q) est le coût de production, C'(q) est le coût marginal ; si R(q) est la recette, R'(q) est la recette marginale. Pour une petite variation h, f(a + h) ≈ f(a) + f'(a)·h.

3. Dérivées usuelles

• (k)' = 0 ; (x)' = 1 ; (x^n)' = n·x^(n−1)
• (√x)' = 1/(2√x) ; (1/x)' = −1/x²
• (e^x)' = e^x ; (ln x)' = 1/x

4. Règles de calcul

• Somme : (u + v)' = u' + v' ; (k·u)' = k·u'.
• Produit : (u·v)' = u'v + uv'.
• Quotient : (u/v)' = (u'v − uv') / v².
• Composée : (g∘f)'(x) = g'(f(x)) × f'(x). Par exemple (e^u)' = u'·e^u et (ln u)' = u'/u.

Exemples : (x·e^x)' = e^x(1 + x) ; (x/(x + 1))' = 1/(x + 1)² ; (ln(x² + 1))' = 2x/(x² + 1) ; ((2x + 1)^5)' = 10(2x + 1)^4.

5. Sens de variation et extrema

Propriété : si f' > 0 sur un intervalle, f est croissante ; si f' < 0, f est décroissante. Si f' s'annule en changeant de signe en a, f présente un extremum local en a.

Exemple : f(x) = x³ − 6x² + 9x. f'(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3). Donc f croît sur ]−∞ ; 1], décroît sur [1 ; 3] et croît sur [3 ; +∞[. Maximum local f(1) = 4, minimum local f(3) = 0.

6. Dérivée seconde et convexité

La dérivée seconde f'' est la dérivée de f'. Si f'' > 0, f est convexe (courbe au-dessus de ses tangentes) ; si f'' < 0, elle est concave. Un point où f'' change de signe est un point d'inflexion. Dans l'exemple précédent, f''(x) = 6x − 12 s'annule en x = 2 : point d'inflexion, f(2) = 2.

En économie, une fonction d'utilité concave traduit l'utilité marginale décroissante ; une fonction de coût convexe traduit des coûts marginaux croissants.

7. Élasticité

Définition : l'élasticité de f par rapport à x est E = f'(x)·x / f(x). Elle mesure la variation relative de f pour une variation relative de 1 % de x.

Exemples : pour Q = 100 − 2P, E = −2P/(100 − 2P). Pour Q = A·P^(−b), E = −b : élasticité constante. Pour D(p) = 100·e^(−0,05p), E = −0,05p.

8. Application : coût moyen minimal

Pour C(q) = q³ − 6q² + 15q + 100, le coût marginal est Cm(q) = 3q² − 12q + 15, toujours positif (discriminant 144 − 180 < 0). Le coût moyen CM(q) = q² − 6q + 15 + 100/q a pour dérivée (2q³ − 6q² − 100)/q², nulle pour q = 5. Alors CM(5) = 30 et Cm(5) = 75 − 60 + 15 = 30 : le coût marginal coupe le coût moyen en son minimum.

9. Retenir l'essentiel

• f'(a) = pente de la tangente = vitesse de variation instantanée.
• Dérivées usuelles et règles : somme, produit, quotient, composée.
• f' > 0 : croissante ; f'' > 0 : convexe.
• Coût marginal = C'(q), recette marginale = R'(q).
• Élasticité = f'(x)·x / f(x).