Cours de Mécanique – Licence 1

La cinématique décrit le mouvement d'un point matériel sans se préoccuper de ses causes. On y définit le référentiel, le vecteur position r(t), la vitesse v = dr/dt et l'accélération a = dv/dt. Ce chapitre traite les mouvements rectilignes uniforme et uniformément varié, la chute libre, le mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur g = 9,81 m/s², puis le mouvement circulaire avec la…

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Programme : les chapitres

Chapitre à lire gratuitement : Cinématique du point

1. Référentiel, repère et point matériel

Décrire un mouvement n'a de sens que par rapport à un référentiel, c'est-à-dire un solide de référence (la Terre, un laboratoire, un train) muni d'une horloge. On lui associe un repère d'espace, par exemple le repère cartésien (O, x, y, z) de base orthonormée (i, j, k).

Définition : un point matériel est un objet dont les dimensions sont négligeables devant les distances caractéristiques du problème. Un bus entre Dakar et Saint-Louis peut être assimilé à un point ; il ne le peut plus lorsqu'on étudie sa rotation sur lui-même.

Remarque : repos et mouvement sont relatifs. Un passager est immobile dans le car mais en mouvement par rapport à la route.

2. Vecteurs position, vitesse et accélération

Le vecteur position est OM(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k. La trajectoire est l'ensemble des positions successives du point.

Définition : la vitesse instantanée est la dérivée du vecteur position par rapport au temps, et l'accélération est la dérivée de la vitesse.

v = dOM/dt = (dx/dt, dy/dt, dz/dt)

a = dv/dt = d²OM/dt²

Les unités sont le mètre par seconde (m/s) et le mètre par seconde carrée (m/s²). Pour convertir : 1 m/s = 3,6 km/h, donc 90 km/h = 25 m/s.

Attention : la vitesse moyenne (distance parcourue divisée par la durée) n'est pas la norme du vecteur vitesse moyenne si le mouvement n'est pas rectiligne ou s'il y a des retours en arrière.

3. Mouvements rectilignes

Mouvement rectiligne uniforme (MRU) : a = 0, v = constante, et x(t) = x₀ + v t.

Mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV) : a = constante. On obtient

v(t) = v₀ + a t

x(t) = x₀ + v₀ t + a t²/2

v² − v₀² = 2 a (x − x₀)

La dernière relation, obtenue en éliminant le temps, est très utile pour une distance de freinage : d = v₀²/(2|a|).

Exemple : une voiture roulant à 30 m/s (108 km/h) et freinant avec a = −5 m/s² s'arrête après t = 6 s et d = 900/10 = 90 m.

La chute libre sans frottement est un MRUV d'accélération g = 9,81 m/s² dirigée vers le bas : un corps lâché sans vitesse initiale d'une hauteur h touche le sol à t = √(2h/g).

4. Mouvement d'un projectile

Un projectile lancé depuis l'origine avec la vitesse v₀ faisant l'angle α avec l'horizontale, soumis à la seule pesanteur, a pour accélération (0, −g). Par intégration :

x(t) = v₀ cos α × t

y(t) = −g t²/2 + v₀ sin α × t

En éliminant t, la trajectoire est une parabole : y = −g x² / (2 v₀² cos²α) + x tan α.

Grandeurs caractéristiques :

Durée du vol (retour à y = 0) : T = 2 v₀ sin α / g

Portée : L = v₀² sin(2α) / g, maximale pour α = 45°

Flèche (hauteur maximale) : H = v₀² sin²α / (2g)

5. Mouvement circulaire

Pour un cercle de rayon R, on repère le point par l'angle θ(t). La vitesse angulaire est ω = dθ/dt (rad/s) et la vitesse linéaire v = Rω. La fréquence de rotation N en tours par minute se convertit par ω = 2πN/60.

Mouvement circulaire uniforme : ω constante, période T = 2π/ω. L'accélération n'est pas nulle : elle est centripète, de norme a = v²/R = ω²R.

6. Base de Frenet

Dans la base mobile (τ, n), où τ est tangent à la trajectoire et n dirigé vers le centre de courbure, l'accélération s'écrit

a = (dv/dt) τ + (v²/ρ) n

où v est la norme de la vitesse et ρ le rayon de courbure. La composante tangentielle a_t = dv/dt traduit la variation de la norme de la vitesse, la composante normale a_n = v²/ρ traduit le changement de direction. Elles vérifient a² = a_t² + a_n².

Méthode : pour trouver ρ en un point, on calcule v et a, puis a_t = a · v / |v|, ensuite a_n = √(a² − a_t²) et enfin ρ = v² / a_n.

7. Retenir l'essentiel

• Toujours préciser le référentiel et choisir un repère adapté avant de calculer.
• Intégrer en tenant compte des conditions initiales : elles fixent les constantes.
• Convertir toutes les grandeurs en unités du Système international avant d'appliquer une formule.
• Vérifier l'homogénéité des résultats : une portée est en mètres, une durée en secondes.