Cours de Probabilités et statistiques – Licence 1

Le dénombrement consiste à compter les éléments d'un ensemble fini sans les énumérer un par un. Ce chapitre expose les principes additif et multiplicatif, les arrangements, les permutations, les combinaisons et les coefficients binomiaux, la formule du binôme de Newton, les anagrammes avec répétitions et le principe d'inclusion-exclusion. Ces outils fournissent la base du calcul des probabilités…

5 chapitres · exercices corrigés et quiz dans l'application

Programme : les chapitres

Chapitre à lire gratuitement : Dénombrement et analyse combinatoire

1. Principes fondamentaux

Cardinal : le nombre d'éléments d'un ensemble fini E est noté |E| ou Card E.

Principe additif : si A et B sont disjoints, |A ∪ B| = |A| + |B|. Plus généralement, pour une partition de E en sous-ensembles, on additionne les cardinaux.

Principe multiplicatif : si une opération se décompose en k choix successifs, avec n₁ possibilités pour le premier, n₂ pour le deuxième (quel que soit le premier), …, nₖ pour le dernier, le nombre total de résultats est n₁ × n₂ × … × nₖ. Ce principe équivaut au cardinal d'un produit cartésien : |A × B| = |A| × |B|.

Exemple : un code de 2 lettres suivies de 3 chiffres (modèle fictif) admet 26² × 10³ = 676 000 possibilités.

Complémentaire : |Ā| = |E| − |A|. Il est souvent plus simple de compter ce qui n'est pas voulu.

2. Listes, arrangements, permutations

p-liste (avec répétition, ordre compté) : choisir p éléments parmi n avec remise, en tenant compte de l'ordre : nᵖ possibilités. Exemple : codes à 4 chiffres : 10⁴ = 10 000.

Arrangement (sans répétition, ordre compté) : choisir p éléments distincts parmi n, dans l'ordre :

Aₙᵖ = n (n − 1) … (n − p + 1) = n!/(n − p)!

Exemple : codes à 4 chiffres tous distincts : A₁₀⁴ = 10 × 9 × 8 × 7 = 5 040.

Permutation : arrangement de tous les n éléments : n! possibilités, avec 0! = 1.

Exemple : 7 élèves peuvent se ranger en file de 7! = 5 040 façons.

3. Combinaisons

Définition : une combinaison de p éléments parmi n est une partie à p éléments d'un ensemble à n éléments (sans ordre, sans répétition). Leur nombre est

C(n, p) = n!/(p! (n − p)!)

Relation avec les arrangements : Aₙᵖ = p! × C(n, p), car chaque combinaison peut être ordonnée de p! façons.

Exemple : choisir un comité de 3 personnes parmi 10 : C(10, 3) = 120.

Propriétés : C(n, p) = C(n, n − p) ; C(n, 0) = C(n, n) = 1 ; formule de Pascal C(n, p) = C(n − 1, p) + C(n − 1, p − 1) ; Σₚ C(n, p) = 2ⁿ, nombre de parties d'un ensemble à n éléments.

Méthode : pour choisir entre arrangement et combinaison, on se demande si l'ordre intervient. Un bureau avec président, trésorier et secrétaire est un arrangement ; un comité sans rôles est une combinaison.

4. Formule du binôme de Newton

Pour tous réels a et b et tout entier n : (a + b)ⁿ = Σ (p de 0 à n) C(n, p) aᵖ bⁿ⁻ᵖ.

Exemple : (x + y)⁵ = x⁵ + 5x⁴y + 10x³y² + 10x²y³ + 5xy⁴ + y⁵. Les coefficients 1, 5, 10, 10, 5, 1 forment la cinquième ligne du triangle de Pascal.

Exemple : le coefficient de x² dans (2x − 1)⁴ est C(4, 2) × 2² × (−1)² = 6 × 4 = 24.

En prenant a = b = 1, on retrouve Σ C(n, p) = 2ⁿ ; avec a = 1 et b = −1, on obtient Σ (−1)ᵖ C(n, p) = 0 pour n ≥ 1.

5. Anagrammes et répartitions

Si l'on dispose de n objets dont n₁ sont identiques d'un type, n₂ d'un autre, etc., le nombre de rangements distincts est n!/(n₁! n₂! …).

Exemples : DAKAR a 5!/2! = 60 anagrammes (le A est répété 2 fois) ; THIES en a 5! = 120 ; MISSISSIPPI en a 11!/(4! 4! 2!) = 34 650.

Chemins sur une grille : pour aller de (0, 0) à (a, b) avec des pas « droite » et « haut », il faut a + b pas dont b vers le haut, soit C(a + b, b) chemins. De (0, 0) à (5, 3) : C(8, 3) = 56.

6. Inclusion-exclusion

Pour deux ensembles : |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. Pour trois : |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

Exemple : parmi les entiers de 1 à 100, ceux qui sont multiples de 2 ou de 3 sont au nombre de 50 + 33 − 16 = 67.

Tirages : dans une urne de n boules, on distingue le tirage successif avec remise (nᵖ), successif sans remise (Aₙᵖ) et simultané (C(n, p)).

7. Retenir l'essentiel

• Se demander à chaque fois : l'ordre compte-t-il ? y a-t-il répétition ?
• Décomposer en choix successifs (multiplication) ou en cas disjoints (addition).
• Passer par le complémentaire pour les expressions « au moins un ».
• Vérifier sur un petit cas (n = 3 ou 4) en énumérant tous les cas possibles.